四色定理（轰动全球的四色问题）,1852年，刚从大学毕业的学生弗南西斯葛斯里，在对英国地图着色的时候，发现一个很有趣的现象。对无论多么复杂的地图，只消用四种色调就足以将相邻区域分开。弗南西斯感到这绝不是一个偶然现象，其中说不定隐藏着某种深刻的科学道理哩。他把自己的想法告诉胞兄弗德雷克葛斯里，请他解决。后者是著名数学家德摩根教授的学生。他对弟弟提出的问题很感兴趣，并敏锐地感到，这个地图着色问题很可能是个数学问题，于是准备给出数学证明。尽管他绞尽脑汁，却百思不得其解。当年10月23日，弗德雷克第一次用数学的形式作为“四色定理”请求德摩根给以证明。摩根教授对自己的学生所提出的定理有着浓厚的兴趣，当即写信将这事告诉了他在三一学院时的学友、著名数学家和物理学家哈密尔顿爵士: “我的一个学生今天要我为他提供一个充分的理由，来说明一件我自己还无法判明究竟是对的还是错的事实。他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界线的两部分要涂上不同的颜色。那么，大概需要四种颜色，而不需要更多的颜色就可以了。请问：难道不能够构造出一个需要五种或者更多种颜色的图么？,图1,摩根教授期望这位智慧超人百思特网的超复数的缔造者能够给出答案。哈密尔顿爵士根本没有想到，一个学生提出的这样一个简简单单的问题，居然会如此意想不到的困难。他经过长达13年的冥思苦索，直到1865年逝世为止，对此染色定理，始终一筹莫展，毫无结果。,哈氏死后13年，1878年6月13日，一位当时很有名望的数学家凯莱，在数学年会上宣读他曾在伦敦数学会会刊上发表过的一篇文章时，将上述问题归纳为“四色猜想”。并在 1879年英国皇家地理会创办的第一期会刊上，再次提及这个“猜想”，征求对这一“猜想”的正确解答。,川凯莱的文章和讲话，引起了很大的反响，吸引了一大批很有才华的有志之士去探索这一难题的奥秘。值得一提的是，在这群有志之士中，有百思特网的人并不是以数学为专业的，而仅仅是对“四色猜想”着了迷而改攻数学的。这便是轰动全球的“四色猜想”的由来。,图2,自凯莱归纳出“四色猜想”后，恰好一年光景，律师出身而改钻数学的数学家肯普写成一篇论文，给出了第一个证明。证明发表以后、人们普遍认为“四色难题” 已成为历史，“猜想”已变为现实。不料11年后，到了1890年，有位年仅20岁的后起之秀希伍德，指出肯普的证明是错误的。这样一来， “四色猜想”依旧悬而未决。希伍德在指出肯普律师的错误时，也肯定了他的成绩，并且还采用肯普在论文中提供的方法成功地证明了“五色定理”。,经过这次波折，研究“四色猜想”的情绪更加振奋起来。热衷这一难题的有志者比比皆是。为了让人们凭直觉在客观上证实这个猜想必然成立，数学家斯蒂芬还设计出一种风行一时的“染色游戏”。游戏由两人（或多人）参加，第一人任画一闭合区域，由对手着色；着完色后，后者再画一闭合区域让对手（或是第三者）染色，如此循环进行。游戏规定，不论谁，若着色完毕并画出闭合区域后，迫使后继者非染第五种色调不可时，便判谁为负。这个规定很有意思，整个游戏中，每次染色都得为后继者着想，不能迫使他用第五种色。如图3，当E区画定时，D区只能染黄色。否则，由于E区与前四区相邻，后继者非染第五种颜色不可。这充分表明，要想迫使对方非染第五种颜色，那真是易如反掌。 可是，游戏规定，谁这样作谁便为负。所以，必须时刻发扬风格，才能使自己立于不败之地。,图3,那么，是否只要切实地注意发扬风格，就确实能立于不败之地呢？据说，自倡导染色游戏以来，没有谁真正负过一次。这在客观上便生动表明：不管闭合区域多么复杂、多么怪，只用四色涂染，相邻区域肯定能分开。换句话说，“四色猜想”的必然成立是毫无疑义的。,但是，游戏毕竟是游戏，它只能说明四色猜想成立与否的趋向性，怎么也不能用游戏去代替科学证明。那么，在理论上得如何下手去证明呢？长时期来，成千上万的数学工作者和爱好者深为这一难题所困扰。,在“四色猜想”的进军途中，有着不少耐人寻味的插曲。有位才思过人、谦虚持重、声望崇高的名数学家，一度担任过爱因斯坦数学导师的闵可夫斯基教授，也因轻视这一问题的难度而闹出过一则小笑话。,事情是这样的。有一次，他正给苏黎士大学的研究生们上课，一时兴起，谈起“四色问题”来。他满不在乎地说： “四色猜想之所以一直没有获得解决，究其缘由是因为当今世界第一流的数学家们，还没来得及研究它。其实，要解决这一猜想，并不见得会有多难。”说着便拿起粉笔，即兴推演，潜以为能一挥而就，当场解决这一难题。他一口气写了几黑板，没料到越写情况越复杂，越讲头绪越繁多，讲着讲着，不由自主地“挂”起黑板来了。虽然如此，教授毫不灰心，他坚信自己确有能力揭开奥秘，决不草率收兵。第二天、第三天……一连几天都接着讲，接着算，接着写。同样，每一次都“挂”黑板，而且一次比一次更狼狈。闵可夫斯基对证明这一猜想所需的工作量远远估计不足，结果， “马克松”式的一连“挂”了几个星期黑板，搞得他焦头烂额，不得不中途告吹。几里期后的一天上午，他疲惫不堪地走进教室。这时，正值雷电交加，大雨倾盆，闵可夫斯基十分愧疚地说： “唉！看来，上帝在责怪我狂妄自大！四色猜想真难呀，我简直拿它毫无办法！”,图4,从闵可夫斯基为“四色猜想”空前受挫之后，“四色问题”与“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”齐名，即使人津津有味，又令人望而生畏。,对“四色定理”，要给出一般证明的确不是轻而易举的事。但是对若干特殊情形，我们不难给出完满的证明。为了给读者提供资料，现在就正十二面体可用四色涂染作为例证 以窥一斑。,为了画图方便和直观起见，将正十二面体经过“开孔”，“展开”，“摊平”，画成平面网络（图5）。,并且约定：1号面为“前面”，12号面为“背面”，2至6号面称为“第一环面”，7至11号面称为“第二环面”。另外，若通过正十二面体的一个旋转，可以将两种涂色方法的同色面完全重合时，则将这两种涂色方案看成是相同的。有了这些规定之后，我们就可以证明下述定理：用四色涂染正十二面体，有且仅有四种不同的染色方案。,图5,可分三个步骤进行推证：,第一步，对正十二面体着色，不管任何方案，四种颜色中每种都恰好使用三次（请读者想想这是为什么？）。,第二步，显然，1号面与12号面决不能同色。并且，1号面色调必与第二环面中使用两次的色彩相合；12号面必与第一环面涂染两次者同色。这显然表明，当第一环面与背面的色彩染定时，就只能按照唯一的一种染色方法给其余各面涂上颜色。,第三步，从图6可知，用四种颜色对正十二面体着色，一共只有十二种方案。图中每一行所列的四种方案是互不相同的，而每列所示的三个方案皆可通过旋转而重合。因此证明，只有四种不同的染色方案。,图6,上例说明，一张地图中，国家的个数不超过12时，四色定理确实是成立的。这一成功，激发人们不懈地去提高图中国家数目的上限：1922年，有人证明了，一张图中国家的个数不超过25时，四色定理成立；1938年，有人把国家数目提高到32; 1940年，国家数目提高到35; 1969年，上限推到39。这就是说，1922年到1969年将近半个世纪，使“四色定理”得以成立的国家数仅仅提高了14个。这样，要想否定“四色猜想”，至少得设计一张包括40个相邻的闭合区域才有可能。,图7,与此同时，还有人从另一方面开辟道路，提出一系列与四色猜想“等价”的百思特网猜想。只要这些“等价”猜想中的任意一个得到证实，那么，四色猜想即告解决。1972年，有人在一篇论文中，对这类“等价”猜想，一口气列出13个之多，可是谁也没能打开缺口，闯出新路。到了二十世纪七十年代中期，美国伊利诺斯大学数学家阿沛尔教授和哈肯教授独树一帜，他们采用肯普当年创立的“不可避免性”与“构形可约性”这一基本思想，启动三台1BM360型超高速电子计算机（这是大学毕业生柯奇专为阿沛尔和哈肯装配的），运转1200个机时，进行了两百亿次逻辑判定，终于在1976年9月获得“四色定理”的证明。为了纪念阿沛尔和哈肯的功绩，伊利诺斯大学城乌尔班纳邮局，在发布“四色定理”已经获证消息的当天，便加盖了纪念邮戳"FOUR COLORS SUFFICE!"（只要四种颜色就够了）借以记录下这亘古以来 的奇迹，同时，及时将成功的喜讯传遍全球。,尽管“四色猜想”在大型超高速电子计算机的帮助下奇迹般地变成了“四色定理”，但四色问题并未因此而宣告结束。我们知道，数学证明的传统风格是简明严谨，笔墨可互施。这个启动超高速电子计算机也要费上千个机时的“马拉松证明”能不能加以简化？不用计算机械能不能给出证明？除了阿沛尔和哈肯的方法外，还存不存在其它的方法？所有这些，还摆在数学家和科学爱好者的面前！所有这些，还期待着人们去思索，去探求，去发现，去解决！所有这些，便是科学史赋予人类的殷切瞩望！,