拉格朗日点（高考中的拉格朗日点之L1点和L2点）

上一期中“反地球”的位置引出了拉格朗日点，那么拉格朗日点到底是怎么回事？最近几期都会陆续探讨，敬请期待

一、拉格朗日点的本质

拉格朗日点又称平动点，是限制性三体问题（特殊的宇宙三个天体系统）的五个特解。一个质量远小于两个大物体的小物体在这两个大物体的万有引力作用下，在拉格朗日点上转动过程中始终相对于这两大物体保持静止，即这三个物体一直以一个整体做转动。

五个拉格朗日点中的前三个点即共线的三个点是由瑞士数学家欧拉推算出的，而L4点和L5点才是由法国数学家拉格朗日推算出来的。前面我们已经从定性和定量两个角度说了L3点。今天我们继续研究一下L1点和L2点。

二、高考中的拉格朗日点

（一）定性分析：

L1点在两个大物体的连线上，且在它们之间。假设两个大物体中间有一个可以移动的点，如上图，当它靠近左侧时，如果忽略右侧大物体的万有引力影响，其周期会越来越小。如果忽略左侧大物体的万有引力影响，其周期会越来越大。所以二者共同影响的话肯定有一点的周期恰好和右侧大物体的周期完全一致。

L2点在两个大物体的连线上，且在相对较小的大物体一侧。假设两个大物体中相对较小的大物体右侧有一个可以移动的点，如上图，当它远离右侧大物体时，如果忽略左侧大物体的万有引力影响，其周期会越来越大。如果考虑左侧大物体的万有引力影响，其周期会越来越小。所以二者共同影响的话肯定有一点的周期恰好和右侧大物体的周期完全一致。

（二）定量分析

定性分析有时候不是很好理解的话，我们尝试计算一下具体位置。

L1点：假设左侧大物体为太阳且质量为M，右侧大物体为地球且质量为m，太阳和地球的距离为R，小物体的质量为u，小物体和地球的距离为x，则以小物体为研究对象时

式1：GMu/(（R－x)的平方)－Gmu/（x的平方）=u(ω的平方）(R－x)

同理以地球为研究对象时

式2：GMm/（R的平方）+Gmu/（x的平方）=m(ω的平方）R

对上面的两个式子做两个近似R－x约等于R，式2中的红色部分近似为零（原因见上期）

联立这两个式子可得，x=三次根号下（Gm/（R的平方））

同理，L2点也可以求得x=三次根号下（Gm/（R的平方））

可见L1点和L2点关于地球对称。

（三）补充一点

L1、L2和L3在两个大物体的连线上，为不稳定点。因为两个大物体提供的向心力增大时，小物体所需要的向心力减小，所以不稳定。这也是考点，大家注意。下期开始着重探讨L4点和L5点。

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